Sugerimos presentar la matemática como un UNIVERSO INTEGRADO logrando que una situación física determinada (estructurada a base de elementos concretos diversos) sea apreciada desde diferentes perspectivas al aplicar sobre ella diversas relaciones lógicas, cada una de las cuales da origen a un área diferente de la matemática, perteneciente al mismo Universo.
De esta manera el edificio matemático conteniendo: Conjuntos, Lógica, Aritmética, Relaciones, Algebra, Geometría y Trigonometría, de contenidos tan diferentes entre sí se presenten estructuralmente como un TODO INTEGRADO y relacionado, comprendiéndose como distintos aspectos del mismo proceso intelectual extraídos de la misma situación física. En esta forma el alumno ya no concebirá la matemática como el estudio de áreas o temas inconexos, sino que establecerá relaciones lógicas secuenciales entre todos los campos de ella.

Es así como el alumno comprenderá que la matemática es:

Un Proceso Intelectual Lógico O Forma De Pensar
Y Analizar Situaciones Desde Diferentes Perspectivas

Así obligaremos al alumno a ver una situación o problema desde varios puntos de vista, para encontrar la solución óptima y adecuada tomando sus decisiones después de haber analizado exhaustivamente cada dato, relación o solución específica.
De esta manera presentaremos al alumno una serie de datos (conceptos, axiomas o elementos concretos), que debe relacionar en forma lógica para extraer de ellos una información coherente que debe explicarla con sus palabras y traducirla al lenguaje propio de la matemática a través de algoritmos o secuencias debidamente estructuradas. A este proceso lo denominamos: la informatización de la matemática. Y junto con la asignatura de matemática estamos trabajando la Informática concebida como: método de pensamiento.
Nos estamos refiriendo aquí a un método de pensamiento que se basa en la capacidad que posee el ser humano para descubrir y construir la estructura de lo real más apta para la finalidad que se busca y poder adoptar las técnicas adecuadas para dominar la complejidad de la situación y guiar el proceso de invención o creación.
Por mucho tiempo, la matemática fue considerada como una serie de disciplinas autónomas como Aritmética, Algebra, Geometría, Trigonometría y Análisis, cuyos principios se fundaban sobre nociones específicas particulares y cada una de ellas tenía sus fines, métodos y lenguaje propios.
El cambio suscitado estos últimos años, debido al análisis realizado y al progreso de esta signatura, ha permitido considerarla como un Universo, de tal manera que ahora, ya no se utiliza el vocablo: Las Matemáticas, como si se tratara de muchas disciplinas, sino: La Matemática, enfatizando su estructura como una unidad, integrada por las disciplinas conocidas en un todo.
La introducción de la Teoría de Conjuntos y Relaciones, en los contenidos de los programas escolares, favorece el presentar la matemática con la característica fundamental de ser una estructura y unidad de consistencia lógica. De esta manera su aprendizaje permitirá desarrollar mejor la capacidad para pensar, relacionar y analizar, en el educando.
Actualmente, la Matemática es considerada como un conjunto de conocimientos estructurados, obtenidos a partir de las primeras experiencias del ser humano con el mundo físico que lo rodea, ante la necesidad de comprenderlo física, económica y socialmente. Estos conocimientos se presentan formando una estructura sobre la cual es posible construir toda la matemática. Ahora, en los contenidos de Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría, existe un aspecto ordenado que establece una jerarquía de estructuras que va de lo simple a lo complejo, de lo particular a lo general, de lo concreto a lo abstracto.
El universo matemático está formado por tres grandes estructuras básicas. A partir de éstas se van formando estructuras más complejas, orgánicamente combinadas por uno o varios axiomas o principios que las unen. Pero como la matemática es una ciencia dinámica, en constante evolución, estas estructuras no son inmutables. Posiblemente en el futuro aumentará el número de estas estructuras fundamentales dando origen a nuevos axiomas o principios. De esta manera la matemática es una ciencia en constante expansión y dinamismo.
En el nivel escolar, aunque la nueva orientación favorece el presentar la matemática integrando sus diversas áreas o ramas; Todavía se enseñan conceptualmente separadas unas de las otras. No se integran a través de las estructuras. Los educandos siguen llevando el aprendizaje de los contenidos en forma totalmente inconexa: Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. La dificultad se encuentra en la metodología utilizada actualmente expositiva y abstracta. Por eso sugerimos presentar la Matemática Integrada Unificada, a los educandos, partiendo del nivel concreto, como lo sugiere Jean Piaget, para llevar el entendimiento hacia lo abstractoconceptual.
La matemática debe presentarse al educando como una FORMA DE PENSAR, de matematizar el mundo físico que le rodea, y no tan solo como una serie de conocimientos que debe aprender y memorizar.
Esta concepción de la matemática, como una forma de pensar lógica y creativamente, favorecerá el que una situación física sea considerada desde diferentes puntos de vista, al aplicar sobre ella diversas relaciones lógicas; cada una de las cuales da origen a un conocimiento específico en cada una de las ramas o áreas de la matemática.
De esta manera se logra unificar e integrar la matemática en el nivel conceptualabtracto, tomando como punto de partida el nivel físicoconcreto.

OBJETIVOS DE LA MATEMÁTICA

La matemática dentro del Sistema Educativo actual, está siendo considerada como un instrumento necesario para conseguir una sólida estructuración mental del educando, a fin de que adquiera una manera de pensar reflexiva y eficiente frente a situaciones nuevas. Esto se hace posible presentándola a través de actividades graduadas destinadas a que el educando coordine e interiorice pensamientos lógicos al mismo tiempo que desarrolla sus habilidades cognoscitivas. El ejercicio mental realizado activamente por el educando, durante el desarrollo de esta asignatura, favorecerá la estimulación de su razonamiento lógico, que desembocará en el logro de "saber pensar lógica y creativamente".

El Objetivo Primordial Es El Desarrollo Del Razonamiento Lógico

El desarrollo del razonamiento lógico implica que el alumno formule juicios inductivos, deductivos y analógicos en forma ordenada y secuencial. El aplicar el razonamiento formal en el aprendizaje de esta asignatura permite al alumno adquirir la capacidad para combinar alternativas, juicios e hipótesis. Si el alumno enlaza y combina conceptos relativos a entes y situaciones matemáticas en forma gradual ordenada y secuencial, estará desarrollando su razonamiento lógico. Pero si las relaciones las establece entre los números y sus propiedades, entonces estará desarrollando su razonamiento numérico.
Las actividades matemáticas realizadas por el educando en el nivel operatorio deben estar basadas en la inducción, intuición, observación y experimentación, para llegar a lo abstracto y conceptual, preparando el camino para la deducción formal. De esta manera cuando el educando alcance la edad del desarrollo de su pensamiento abstracto, podrá trabajar perfectamente con la deducción, que tendrá sólidas bases en el proceso inductivo realizado por años en el nivel anterior. Así se logrará la conjunción induccióndeducción, tan difícil de lograr por la mente humana. De esta manera comprenderá el por qué de cada proceso, el cómo y para qué de los mismos, a fin de obtener decisiones óptimas y rápidas. El alumno descubrirá las estructuras matemáticas, para aplicarlas luego, e inducirá para deducir hipotéticamente en el nivel formal.

El Objetivo Secundario En El Desarrollo Del Razonamiento Abstracto

Conocedores que los conceptos logrados en trato directo con los objetos que son el punto de partida del conocimiento abstracto, podemos afirmar que el alumno logrará un desarrollo ordenado lógico y gradual de su razonamiento abstracto, al realizar experiencias manipulativas concretas en las que aplique la investigación científica. El alumno será capaz de formular hipótesis, comprobarlas experimentalmente y verificarlas.
El ejercicio constante de estas actividades experimentales le permitirá que logre:
1. Distinguir cuándo una proposición es verdadera o falsa.
2. Diferenciar lo importante de los secundario.
3. Diferenciar hechos de opiniones.
4. Diferenciar lo real de lo posible.
5. Diferenciar conclusiones experimentales de conclusiones válidas.
6. Descubrir las condiciones necesarias o suficientes para la validez de una proposición o propiedad.
7. Comprender los limites de lo real, con respecto a las ideas o pensamientos matemáticos más profundos.
8. Dominar el campo de lo real para hacer transferencias a lo abstracto.

Conceptos Matemáticos Que Permiten La Integración De Sus Areas

Presentamos las nociones conceptuales que el alumno debe tener de cada una de las AREAS que integran la matemática, durante su formación escolar.
LÓGICA: Estudia el conocimiento verdadero. Es la manera en que los datos o informaciones son enunciados por proposiciones, y cómo éstas se relacionan entre sí. Se refiere exclusivamente al dominio de la actividad interior del sujeto, y NO a las relaciones con los objetos como tales. Es un análisis formal del conocimiento y de las teorías o técnicas de orden lógico y gramatical dentro de la matemática.
TEORIA DE CONJUNTOS: Estudia toda agrupación de entes matemáticos, y a las relaciones y operaciones existentes entre ellos y sus elementos.
RELACIONES Y FUNCIONES: Es la rama matemática que descubre y analiza la manera cómo se asocian los elementos de un conjunto de entes matemáticos entre sí y con los elementos de otros conjuntos y las propiedades que posee esa asociación.

ARITMÉTICA: Estudia el conjunto de sistemas numéricos y las relaciones, operaciones y propiedades que existen entre ellos y entre sus elementos.

ALGEBRA: Estudia la formulación general de las leyes que rigen a todos los sistemas matemáticos, en función de las relaciones y operaciones que se realizan entre ellos.

GEOMETRÍA: Estudia el conjunto de puntos ubicados en el espacio de una, dos o tres dimensiones, y las relaciones métricas, posicionales y de transformación existentes entre ellos.

GEOMETRÍA ANALÍTICA: Estudia cómo algunos puntos del espacio cumplen ciertas propiedades que pueden enunciarse analíticamente mediante una relación.

TRIGONOMETRÍA: Estudia las funciones circulares aplicadas a los ángulos y las relaciones, operaciones y propiedades existentes entre ellos.

Ejemplo De Integración Con Algunas Nociones Matemáticas

El alumno aplica relaciones lógicas entre los elementos concretos dispuestos de una determinada manera, cada una de estas relaciones da origen a una noción o proposición matemática diferente. Es muy importante que el alumno posee su propio equipo manipulativo multisensorial.
Los elementos concretos utilizados como instrumentos para realizar la integración matemática están colocados sobre la minicomputadora Esquemática de Blacker, un material como lo muestra la figura adjunta. Los conjuntos de elementos son cuadrados y rectángulos del color amarillo de la base decimal.

LÓGICA: Para enseñar algunas nociones de lógica establecemos algunas relaciones sobre los elementos colocados sobre la minicomputadora Esquemática de Blacker y utilizamos en forma intuitiva la terminología específica y los conectivos lógicos.

EJEMPLO: Para esto tomamos la disposición de algunos elementos de la base diez de color amarillo distribuidos lógicamente sobre la minicomputadora, y empezamos a formular algunas afirmaciones sobre lo que vemos.

TODOS: Los elementos, ubicados sobre la minicomputadora, son amarillos.
ALGUNOS: Elementos son cuadrados y algunos rectángulos.
NINGÚN: Elemento es rojo o verde.
UN ELEMENTO: Es cuadrado "y" amarillo o rectángulo "y" amarillo.
SI: Un elemento está sobre la minicomputadora ENTONCES es amarillo.
Un elemento cualquiera del equipo es cuadrado "o" rectángulo.
Un elemento cualquiera es de color amarillo si y sólo si es elemento de la base diez de numeración.

TEORIA DE CONJUNTOS: Para trabajar algunas nociones de conjuntos, a los elementos amarillos que representan las unidades llamaremos cuadraditos, a los que representan las decenas llamaremos rectángulos y a los que representan las centenas llamaremos cuadrados.
En este caso:
El Conjunto Universal U: Es el formado por todos los elementos de color amarillo.
Los Conjuntos que Integran el Universo: Están formados por los cuadraditos, los rectángulos y los cuadrados ubicados en cada columna.
Los SubConjuntos: Están formados por 3 cuadraditos y 2 cuadraditos, por 3 rectángulos y 1 rectángulo y por 2 cuadrados y 1 cuadrado.
La Noción de Unión de Conjuntos: Se puede dar juntando los cuadrados y los rectángulos.

RELACIONES: Las relaciones que se utilizan con mayor frecuencia son "mayor que", "menor que", "igual a", "equivalente a".
Comparando los elementos amarillos tenemos que:
Un cuadrado (centena) es diez veces mayor que un rectángulo (decena).
Un cuadradito (unidad) es diez veces menor que un rectángulo (decena).
El valor de una decena es igual a diez unidades.
El valor de una centena es igual a diez decenas y a cien unidades.
Un rectángulo o tira es equivalente a diez cuadraditos.
Un cuadrado es equivalente a diez rectángulos y a cien cuadraditos.

ARITMÉTICA: Consideremos, sólo en este caso, la adición de dos números naturales con tres cifras cada uno.
El primer sumando consta de 2 centenas, 1 decena y 3 unidades cuya escritura es 213.
El segundo sumando consta de 1 centena, 3 decenas y 2 unidades cuya escritura es 132. El cardinal del conjunto solución que resulta de juntar los dos conjuntos anteriores consta de 3 centenas, 4 decenas y 5 unidades y su escritura es 345.

ALGEBRA: En esta área trabajaremos sólo la adición de polinomios en el conjunto de números naturales.
Si comparamos cada una de las cifras del número 213 con la unidad de referencia podemos escribirlas de otra manera en función de su equivalencia así:

200 + 10 + 3 -->
2 x 100 + 1 x 10 + 3 -->
2 x 102 + 1 x 10 + 3

Si reemplazamos el valor numérico de la base diez en los dos primeros sumandos por la letra "a" que representa el color amarillo de los elementos concretos, para diferenciarlos de las otras bases de numeración tenemos: 2 x a2 + 1 x a + 3 --> 2a2 + 1a + 3, que es la expresión polinómica del número 213 en base diez (color amarillo). El segundo sumando se escribiría polinómicamente así: a2 + 3a + 2. Colocando los dos sumandos verticalmente para sumarlos tendríamos:

NÚMERO NATURAL EXPRESIÓN POLINÓMICA

SUMANDO 213 2a2 + a + 3 +
SUMANDO 132 a2 + 3a + 2
SUMA TOTAL 345 3a2 + 4a + 5

De esta manera el alumno no tendrá que memorizar sin saber el por qué de las reglas de los sig-nos, coeficientes y exponentes para sumar los polinomios, sino que establecerá una relación de equivalencia entre los elementos concretos. Los coeficientes de la expresión polinómica le indicarán el número de elementos en total que hay en cada columna. La expresión "a2" podrá leerse "a al cuadrado" porque la representación física del elemento es un cuadrado, la expresión "a" tendrá como representación física una tira, que poseerá una dimensión (largo); y la expresión 5 tendrá como su representación física un punto del plano. De esta manera podrá interpretar geométricamente el polinomio.

GEOMETRÍA: En esta área el alumno relacionará las formas de los elementos concretos, sus elementos constitutivos y sus relaciones de posición.
Si compara los elementos de cada conjunto entre sí tendrá: cuadrados y rectángulos semejantes y congruentes, en cada una de las columnas. Si compara un elemento de la columna de los cuadrados y un elemento de la columna de los cuadraditos observará cuadrados semejantes y no congruentes. Si compara un elemento de la primera columna de los cuadrados con un elemento de la segunda columna de los rectángulos tendrá elementos no congruentes y no semejantes.
Luego puede observar a fin de determinar los elementos de cada una de las formas que está trabajando: lados, ángulos, área, etc.
Si el alumno desea ubicar cada elemento en el plano, tendrá que asignarle una posición diferente tanto en la dirección vertical como en la horizontal, relación que permitirá la utilización del plano cartesiano en las nociones de geometría.

TRIGONOMETRÍA: Noción intuitiva de la tangente de un ángulo.

Para que el alumno adquiera la noción de tangente debe tener un punto como referencia tal como A. Luego compara este punto con determinados puntos del plano tales como B, C, D y E. La comparación puede ser por ejemplo con respecto a la distancia a que se encuentran del punto A. En el caso de que dos o más puntos tengan la misma distancia como los puntos D y E del gráfico, tendrá que tomar otro aspecto de comparación para diferenciarlos. En este caso podría tomarse la ubicación de los puntos en el plano tomando como referencia los ejes horizontal y vertical, así puede utilizar el plano cartesiano para relacionar las distancias y hallar la tangente.